Langsung ke konten utama

Bilangan Bulat: Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat | Matematika SMP

Bilangan Bulat: Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat | Matematika SMP

Pada artikel sebelumnya, kalian telah belajar pengenalan bilangan bulat. Pada kegiatan ini, kalian akan diajak untuk memahami sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat. Untuk memahami sifat-sifat tersebut mari amati beberapa konteks berikut.


Contoh 1

Gambar Boneka

Mia mempunyai 3 boneka di rumahnya. Ketika ulang tahun, Mia mendapatkan hadiah sebanyak 4 boneka lagi. Berapakah boneka yang dimiliki Mia sekarang?


Alternatif Penyelesaian:

Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.
Karena Mia memiliki 3 boneka, maka dari titik asal (0) bergerak 3 satuan ke kanan. Kemudian, karena mendapatkan 4 boneka lagi, berarti terus bergerak 4 satuan ke kanan. Sehingga hasil akhirnya adalah 7.



Jadi boneka yang dimiliki Mia sekarang adalah 7 boneka.
Selisih antara dua bilangan bulat sama dengan jarak kedua bilangan tersebut pada garis bilangan. Misalnya,
    Selisih antara 1 dengan 4 adalah 3 satuan
    Selisih antara -2 dengan 3 adalah 5 satuan
Perhatikan ilustrasi berikut!



Di Sekolah Dasar, kalian sudah mengenal operasi sederhana beberapa bilangan bulat. Berikut diuraikan kembali operasi bilangan bulat yang sudah kalian pelajari di Sekolah Dasar dulu, diperdalam dengan pemahaman terhadap berbagai kondisi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat.

Contoh 2

Gambar sepatu

Nia mempunyai 6 pasang sepatu di rumahnya. Karena sedang senang hati, Nia memberikan 2 pasang sepatunya kepada sepupunya. Berapakah pasang sepatu yang dimiliki Nia sekarang?

Alternatif Penyelesaian:

Bentuk dari soal tersebut adalah 6 – 2 = …

Awalnya Nia memiliki 6 pasang sepatu, maka bergerak dari titik nol ke kanan 6 satuan. Karena dikurang 2 pasang sepatu, berarti panah berbalik arah ke kiri 2 satuan. Sehingga hasil akhirnya adalah 4.




Perhatikan bahwa 6 – 2 sama dengan penjumlahan 6 + (-2). Panah ke kiri menunjukkan arah pengurangan oleh bilangan positif atau penjumlahan dengan bilangan negatif (-).
Jadi, banyak sepatu yang dimiliki Nia sekarang adalah 6-2=4 pasang.

Contoh 3

Orang menyelam

Seorang penyelam amatir mula-mula berlatih menyelam di kedalaman 2 meter di bawah permukaan laut. Setelah merasa lancar menyelam di kedalaman 2 meter, kemudian ia turun lagi hingga kedalaman 5 meter di bawah permukaan laut. Berapakah selisih kedalaman pada dua kondisi tersebut?


Alternatif Penyelesaian:

-5 mewakili posisi 5 meter di bawah permukaan laut. Sedangkan -2 mewakili posisi 2 meter di bawah air laur. Bilangan -2 lebih besar daripada -5 (mengapa?)

Bentuk soal tersebut bisa kita tulis (-2)-(-5)=⋯

Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut




Dari Gambar 1.10 diperoleh (-2)-(-5)=3.
Jadi, selisih kedalaman penyelam pada dua kondisi tersebut adalah 3 meter.


Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Bilangan Bulat

Ketika masih di bangku SD/MI kalian sudah mempelajari banyak tentang operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Mari kita mengingat kembali sejauh mana ingatan kalian tersebut.


Soal:



Tentu kalian dengan mudah menentukan hasil dari soal-soal tersebut. Pada soal nomor 1 dan 2, posisi bilangan saling berkebalikan. Namun hasil dari kedua penjumlahan tersebut adalah sama, yaitu …..begitupun pada somor 3 dan 4, hasilnya adalah sama, yaitu ….

Hasil yang sama itu pun berlaku untuk penjumlahan bilangan bulat lainnya. (silakan dicoba)
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif (berkebalikan).

Sifat 1: Komutatif
Secara umum, jika a dan b adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku

Apakah sifat komutatif juga berlaku pada operasi pengurangan?

Ternyata tidak. Contohnya bisa kita lihat pada soal nomor 5 dan 6. Pada kedua soal tersebut, susunan bilangan yang dikurangi dan pengurangannya saling berkebalikan. Pada soal nomor 5, hasil pengurangannya adalah … . Sedangkan pada soal nomor 6, hasil pengurangannya adalah … . Ternyata, jika kita cermati hasil keduanya tidak sama. Sehingga dapat kita simpulkan bahwa pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif.


Sifat 2: Asosiatif
Selain sifat komutatif, pada penjumlahan bilangan bulat juga berlaku sifat asosiatif (pengelompokan).

Secara umum, jika a,b, dan c adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku

Contoh 4

Misal a=120,b=30, dan c=70

120+(30+70)=120+100=220
(120+30)+70=150+70=220

Untuk mengecek kebenaran sifat asosiatif dan distributif, lengkapi Tabel berikut.


Dengan memanfaatkan sifat-sifat bilangan bulat komutatif dan asosiatif, kita bisa menyelesaikan masalah dengan lebih sederhana. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 5

Tentukan hasil dari
1+2+3+⋯+48+49+50

Alternatif Penyelesaian:

Sebenarnya kita bisa menjumlah satu persatu bilangan tersebut dari depan hingga selesai. Namun cara tersebut pasti membutuhkan waktu yang cukup lama. Dengan memanfaatkan sifat komutatif dan asosiatif, kita bisa membuatnya menjadi lebih sederhana.

Amati bahwa setiap bilangan berikut bisa dijumlahkan sehingga membentuk pasangan-pasangan bilangan yang hasil penjumlahannya 51, seperti pada ilustrasi berikut.



Dalam proses ini sebenarnya kita telah melakukan sifat komutatif serta asosiatif secara berulang kali, sehingga tersusun bentuk berikut.
(1+50)+(2+49)+(3+48)+⋯+(25+26)

Apabila dilanjutkan aka nada 25 pasang bilangan yang jumlahnya 51.
1+2+3+⋯+48+49+50=51+51+51+⋯+51 (sebanyak 25 kali)
Bisa ditulis 25 ×51=1.275

Sifat-sifat lain dari Bilangan Bulat 

Penjumlahan bilangan genap ditambah bilangan genap*

Perhatikan tabel berikut.

Isilah kolom Bilangan I dan Bilangan II dengan sebarang bilangan bulat genap.
Amati hasil penjumlahan antar bilangan tersebut.
Setelah mengamati, buatlah dugaan tentang hasil penjumlahan dua bilangan genap.


Penjumlahan bilangan genap ditambah bilangan ganjil*

Perhatikan tabel berikut.
Isilah kolom Bilangan I dengan sebarang bilangan bulat genap dan kolom Bilangan II dengan sebarang bilangan bulat ganjil.

Amati hasil penjumlahan antar bilangan tersebut.


Penjumlahan bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil*

Perhatikan tabel berikut.
Isilah kolom Bilangan I dan Bilangan II dengan sebarang bilangan bulat ganjil.
Amati hasil penjumlahan antar bilangan tersebut.

Setelah mengamati, buatlah dugaan tentang hasil penjumlahan dua bilangan ganjil.



Demikian untuk artikel kali ini, sampai jumpa.

Referensi:

As’ari, Abdur Rahman dkk. 2017. Matematika SMP/MTS Kelas VII semester 1. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.


Label:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Konsep Bersedekah Dalam BIlangan Pecahan

Konsep Bersedekah Dalam Bilangan Pecahan Gambar: Ilustrasi Bersedekah Assalamualaikum Wr. Wb. Dalam ilmu matematika kita mengenal ada namanya konsep bilangan pecahan. Bilangan pecahan adalah bilangan yang merupakan bagian dari suatu keseluruhan. Jadi bilangan pecahan itu adalah perbandingan antara bilangan yang dibagi dengan bilangan pembaginya. Misalnya saya punya bilangan pecahan 1/2 , 1 disini disebut sebagai pembilang atau bilangan yang dibagi sedangkan 2 disebut sebagai penyebut atau bilangan pembaginya. Nah kalo kita kalkulasikan bilangan 1/2 ini maka akan didapatkan hasil 0,5. Kemudian kalo misalkan kita mau membandingkan dengan bilangan 1/3 hasilnya adalah 0,33, 1/4 = 0,25,   1/5 = 0,2, dst…Kalau kita perhatikan bilangan-bilangan tersebut, semakin besar nilai pada bilangan penyebutnya maka nilai yang dihasilkan semakin kecil atau dalam matematika bisa kita tuliskan seperti berikut. 1/2 > 1/3 > 1/4 > 1/5, maksudnya bilangan yang disebelah kiri lebih besar d...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Matematika dalam Perspektif Al-Qur'an

  Matematika dalam Perspektif Al-Qur’an    sumber: pixabay.com Permasalahan yang sering muncul ketika membicarakan tentang matematika adalah bagaimana integrasi matematika dengan agama, Adakah anjuran mempelajari matematika dalam pandangan Al-Qur’an dan kenapa matematika perlu dilihat dari kacamata Al-Qur’an. Kuntowijoyo dalam Fathul Mufid menyatakan bahwa inti dari integrasi ilmu adalah upaya menyatukan (bukan sekedar menggabungkan) wahyu Tuhan dan temuan pikiran manusia (ilmu-ilmu rasional), tidak mengucilkan tuhan (sekularisme) atau mengucilkan manusia (other wordly asceticism). Model integrasi ini adalah menjadikan Al-Qur’an dan Sunnah sebagai grand theory pengetahuan. Sehingga ayat-ayat Kauniyyah dan Qawliyyah dapat dipakai. Integrasi yang dimaksud adalah berkaitan dengan usaha memadukan keilmuan umum dengan islam tanpa harus menghilangkan keunikan-keunikan antara dua keilmuan tersebut. Matematika yang dikenal banyak dikalangan para ilmuwan terutama kalangan non musl...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Bilangan Pecahan: Membandingkan Bilangan Pecahan | Matematika SMP

Bilangan Pecahan: Membandingkan Bilangan Pecahan | Matematika SMP Pada bagian ini, kita masuk ke materi baru dari bilangan yaitu bilangan pecahan. sebelumnya kita telah belajar tentang bilangan bulat . Dalam kegiatan ini, kalian akan diajak untuk memahami suatu bilangan pecahan. Setelah memahami materi tersebut diharapkan kalian bisa membandingkan dua bilangan pecahan atau mengurutkan beberapa bilangan pecahan. Perhatikan contoh berikut. Contoh 1 Dalam suatu acara ulang tahun, undangan yang datang dibagi menjadi 4 kelompok untuk menikmati kue tar berbentuk lingkarang dengan ukuran yang sama. Kue tar tersebut sudah dihidangkan pada setiap meja kolompok, yaitu meja A, meja B, meja C, dan meja D. kue tersebut dibagi sama rata kepada anak yang menghadapi suatu meja. Setiap undangan yang datang boleh memilih duduk di bangku meja manapun. Adit adalah undangan terakhir yang datang di acara tersebut. Adit melihat bangku meja A sudah ada 6 anak, meja B ada 7 anak, meja C ada 8 anak, dan meja D ...
Posting Komentar
Baca selengkapnya