Bilangan Bulat: Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat | Matematika SMP

Bilangan Bulat: Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat | Matematika SMP

Pada artikel ini akan kita bahas lanjutan dari bahasan tentang bilangan bulat. pada materi sebelumnya telah kita pelajari tentang operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat. bagi temen-temen yang mau belajar dari awal tentang bilangan bulat, bisa cek artikel sebelumnya yaa. 

Perkalian Bilangan Bulat*

Apakah ada hubungan antara operasi perkalian dengan operasi penjumlahan pada bilangan bulat? Mari kita temukan konsep perkalian dengan memahami permasalahan nyata berikut.



Contoh 1

Pernahkah kalian melihat resep dokter seperti gambar diatas?
Resep dokter tersebut bermakna bahwa pasien tersebut sebaiknya meminum obat 3 kali dalam 1 hari. Dengan kata lain 3 × sehari = 3 × 1 hari = 1 + 1 + 1.



Contoh 2

Suatu gedung tersusun atas 5 lantai. Jika tinggi satu gedung adalah 6 meter, tentukan tinggi gedung tersebut (tanpa atap).

Alternatif Penyelesaian:

Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk perkalian
5 ×6=6+6+6+6+6=30
Jadi tinggi gedung tersebut adalah 30 meter.


Contoh 3


Endang adalah anak yang rajin menabung. Tiap akhir bulan dia selalu menabung Rp500.000,00. Jika Endang menabung selama 7 bulan secara berturut-turut, tentukan banyak tabungan Endang dalam 7 bulan tersebut.  (potongan dan bunga bank diabaikan)

Alternatif Penyelesaian:

Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk perkalian
7 ×500.000=500.000+500.000+500.000+500.000+500.000+500.000+500.000
         =3.500.000
Jadi, banyak tabungan Endang dalam 7 bulan adalah Rp3.500.000,00


Contoh 4



Ketika memasuki musim dingin, suhu di negara Eropa sering kali turun drastic. Setiap 1 jam suhu turun sebesar 2^° C. Jika pada pukul 18.00 suhu di sana adalah 〖10〗^° C, tentukan suhunya ketika pukul 24.00 waktu setempat.

Alternatif Penyelesaian:

Dari pukul 18.00 hingga pukul 24.00 berarti sudah berlangsung 6 jam. Karena setiap 1 jam suhunya turun 2^° C, maka turunnya suhu selama 6 jam tersebut dapat disajikan dalam bentuk perkalian
6 ×(-2)=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=-12
Selama 6 jam suhu di Eropa turun 〖12〗^° C atau dapat ditulis 〖-12〗^° C. Jadi, suhu di Eropa ketika pukul 24.00 (waktu setempat) adalah 10+(-12)=〖-2〗^° C.


Secara umum, untuk a elemen bilangan bulat positif dan b elemen bilangan bulat, a ×b diartikan menjumlahkan b sebanyak a kali.

Pada operasi perkalian juga berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Untuk sebarang bilangan bulat a,b, dan c berlaku

• Komutatif
  a×b=b×a
• Asosiatif
  (a×b)×c=a×(b×c)
• Distributif

Perkalian terhadap penjumlahan
a×(b+c)=a×b+a×c
Perkalian terhadap pengrangan
a×(b-c)=a×b-a×c
Untuk mengecek sifat-sifat tersebut lengkapi Tabel 1.2, 1.3, dan 1.4


Amati hasil di kolom 5, 6, 7, dan 9. Kalian bisa mencoba untuk sebarang bilangan bulat yang lain.



Amati hasil di kolom 6 dan 9. Kalian bisa mencoba untuk sebarang bilangan bulat yang lain.



Amati hasil di kolom 6 dan 9. Kalian bisa mencoba untuk sebarang bilangan bulat yang lain.
Untuk memahami lebih lanjut tentang perkalian bilangan bulat, mari ikuti kegiatan berikut.

Perhatikan perkalian antara dua bilangan bulat tak nol (bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif) pada Tabel 1.5 berikut.



Keterangan:
Positif (+) : Sebarang bilangan bulat positif
Negatif (-) : Sebarang bilangan bulat negative
Untuk mengecek kebenaran jawaban kalian, lengkapi tabel-tabel perkalian berikut dengan mengamati pola hasil kalinya.





Jika kita kaitkan dengan kehidupan sehari-hari kita bisa mengambil nilai dari operasi perkalian dua bilangan bulat. Berikut contoh kaitan antara operasi perkalian dengan konsep ketakwaan terhadap Tuhan Yang Maha Esa. Lengkapi Tabel 1.9 berikut.




Faktor bilangan bulat*

Diketahui a dan b adalah bilangan bulat. a disebut faktor dari b jika ada n sedemikian sehingga b=a×n, dengan n adalah bilangan bulat.

Contoh 5

Tentukan semua faktor positif dari 6. Jelaskan
Alternatif Penyelesaian:
2 adalah faktor dari 6, karena ada 3 sedemikian sehingga 6=2×3
3 adalah faktor dari 6, karena ada 2 sedemikian sehingga 6=3×2
1 dan 6 juga faktor dari 6 (mengapa?)
Jadi faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6.

Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang hnya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Misal p adalah bilangan prima maka faktor dari p hanya 1 dan p.
Dengan melakukan percobaan berikut, mari menemukan bilangan prima antara 1 sampai 100. Ikuti langkah berikut.

1.     Coretlah bilangan 1
2.     Coretlah bilangan kelipatan 2 kecuali 2
3.     Coretlah bilangan kelipatan 3 kecuali 3
4.     Coretlah bilangan kelipatan 5 kecuali 5
5.     Coretlah bilangan kelipatan 7 kecuali 7

Dengan mengikuti langkah diatas didapatkan bilangan-bilangan yang tidak tercoret itulah bilangan prima antara 1 sampai 100. Daftarlah semua bilangan prima yang kalian dapatkan!
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,…,…,…,…,…,…,…,



Pembagian Bilangan Bulat*



Contoh 6

Karena sedang baik hati bu Futri ingin membagi-bagikan kue kepada tetangganya. Kue yang dimiliki Bu Futri adalah 12 kue, sedangkan tetangga yang akan diberi kue tersebut ada 6 tetangga. Jika Bu Futri ingin membagi rata semua kue tersebut, maka masing-masing tetangga mendapatkan berapa kue?

Alternatif Penyelesaian:

12 dibagi 6 dapat diartikan pengurangan 6 terhadap 12 secara berulang hingga tidak tersisa. Dapat ditulis 12-6-6=0.  6 mengurangi 12 berulang 2 kali dengan kata lain hasil dari 12 dibagi 6 sama dengan 2, ditulis 12∶6=2.
Jadi, masing-masing tetangga Bu Mia mendapatkan 2 kue.
Pada pembagian di ata, 12 adalah bilangan yang dibagi, 6 adalah pembagi, sedangkan 2 adalah hasil bagi.

Contoh 7


Seekor Tupai mula-mula berdiri di titik 0, Tupai itu dapat melompat ke kiri atau ke kanan. Sekali melompat jauhnya 3 satuan. Tupai telah melompat ke kiri dan berada di titik 15 sebelah kiri nol. Berapa kali tupai telah melompat?

Alternatif Penyelesaian:

Tupai melompat kea rah kiri (ke arah kiri titik nol artinya daerah bilangan negatif). Gerakan Tupai dapat digambarkan pada garis bilangan berikut ini.


Jarak yang ditempuh tupai untuk satu kali melompat adalah 3 satuan.
Untuk menempuh titik -15(-15 artinya titik 15 di sebelah kiri nol), tupai harus melompat sebanyak 5 kali (ke kiri).
Misal banyak lompatan tupai adalah t

t=-15÷3=-5  atau  t=-15×1/3    maka t=-5

(lihat garis bilangan di atas, -5 adalah banyak anak panah 3 satuan arah ke kiri).
Jadi, tupai telah melompat sebanyak 5 kali.


Urutan Operasi

Kalian telah mempelajari empat macam operasi pada bilangan bulat, yaitu penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (×), dan pembagian (÷). Misal ada suatu soal matematika sebagai berikut.
Tentukan hasil dari 6+2×4=⋯
Kemungkinan jawaban pertama 6+2×4=8×4=32
Kemungkinan jawaban kedua 6+2×4=6+8=14

Menurut kalian, jawaban manakah yang benar? Jelaskan alasanmu. Jika tidak dibuat aturan dalam dalam urutan operasi matematika, maka dalam perhitungan matematika akan menghasilkan beberapa kemungkinan jawaban yang berbeda seperti diatas. Oleh karena itu, para matematikawan sepakat untuk membuat aturan tentang urutan operasi.

Urutan Operasi
 *   Hitung bentuk yang di dalam kurung
Contoh
(6+2)×4=⋯
8×4=32
 *   Hitung bentuk eksponen (pangkat)
Contoh
-4+3^2=⋯
-4+9=5
 *   Perkalian dan pembagian secara berurutan dari kiri ke kanan
Contoh 1
2+3×4=⋯         perkalian lebih dulu
2+12=14

Contoh 2
48÷2×3=⋯         pembagian dulu (karena di sebelah kiri) perkalian
24×3=72

Contoh 3
24×2÷8=⋯         perkalian dulu (karena di sebelah kiri) pembagian
48÷8=6
 *   Penjumlahan dan pengurangan secara berurutan dari kiri ke kanan
Contoh 1
3-2+5×4=         perkalian lebih dulu
3-2+20    =         pengurangan (karena sebelah kiri)
         1+20 =21         penjumlahan

Contoh 2
3+4÷2-5×4=      pembagian dan perkalian lebih dulu
3+2-20=             penjumlahan (karena sebelah kiri)
5-20= -15         pengurangan

Ayok kita bernalar

•     Pada perkalian bilangan bulat a×b, jika salah satu a atau b adalah 0, tentukan kemungkinan hasil kalinya.
•     Sifat tertutup pada bilangan bulat terhadap operasi perkalian artinya hasil perkalian dua bilangan bulat adalah bilangan bulat juga. Buatlah dugaan.
•     Apakah oeprasi perkalian pada bilangan bulat memenuhi sifat tertutup? Jelaskan.
•     Apakah operasi pembagian pada bilangan bulat memenuhi sifat tertutup? Jelaskan
•     Salin dan lengkapi Tabel 1.10 berikut

Operasi pembagian pada bilangan bulat
Untuk menjawab nomor 4 sampai 7 lengkapi Tabel berikut.

•     Diketahui a dan b adalah sebarang bilangan bulat tak nol. Tentukan kemungkinan hasil dari a÷b.
•     Diketahui a=0, dan b adalah sebarang bilangan bulat. Tentukan kemungkinan hasil dari a÷b.
•     Diketahui b=0, dan a adalah sebarang bilangan bulat. Tentukan kemungkinan hasil dari a÷b.
•     Apakah operasi pengurangan dan pembagian memenuhi sifat komutatif? Jelaskan.

Sekian dulu pembahasan pada artikel kali ini, semoga bermanfaat.

Referensi:

As’ari, Abdur Rahman dkk. 2017. Matematika SMP/MTS Kelas VII semester 1. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.